Determination of absolute error of interpolation of curve with given geometric characteristics
Keywords:
interpolation error, ordered points set, oscillation, monotonous change of differential-geometric characteristics, area of location of curveAbstract
Purpose. The purpose of the research is to develop a method for determining of absolute error of interpolation of a point set by a non-oscillating plane curve from the condition of monotonous change of differential-geometric characteristics along the initial geometric image. Methodology. Analysis of methods of estimating of accuracy of interpolation by the methods of continuous geometric modeling showed that disadvantages of these methods are caused by the decision to compare the obtained model with a known predefined function, which differs from the initial curve to which the points set belongs. The method of determining the accuracy of the interpolation, which is based on the formation of curve on the basis of its geometrical characteristics, is proposed in this article. The assumption, on the basis of which the curve is formed, is following: if there is a curve that interpolates the original points set and there are no singular points for this curve (an inflection point, points of change direction of curvature, torsion values, etc.), then there are no such singular points on the original object. Two components of the occurrence of error are considered. The error, with which the formed curve that interpolates the original points set represents the original curve, is estimated as the area of possible location of all curves whose characteristics are identical to those of the original curve. The interpolating curve is forming in the form of a condensed points set, which consists of an arbitrarily large number of points determined from the condition of the possibility of interpolating its curve by a line with given characteristics. The error of the formation of the interpolating curve is estimated as the area of possible location of the curve interpolating the condensed points set. Findings. The solution of the problem for a plane curve on the basis of the condition of absence of oscillations and the condition of monotonous change of curvature values is present in this article. The area of location of curve, which is determined by the condition of convexity of curve, is maximal and is the initial. Addition of the following conditions (monotonous change of curvature along the curve and assignment of fixed positions of tangents and curvature values at initial points) localizes the area of possible solution. Originality. The developed method for estimating of accuracy of interpolation of a curve makes it possible to determine the absolute error with which the model represents the initial curve and the accuracy with which the interpolating curve represents any curve with given properties. Practical value. The developed method can be used in solving of problems that require the determination of maximum absolute error with which the model represents the original object. It is approximate calculations, the construction of graphics that describe of processes and phenomena, the formation of models of surfaces on the physical sample.References
Bakhvalov N.S., Zhidkov N.P. and Kobelkov G.M. Chislenyie metody [Numerical methods]. Moscow: BINOM, 2008, 636 p. . (in Russian).
Havrylenko Ye.A. and Kholodniak Yu.V. Vyznachennia diapazoniv heometrychnykh kharakterystyk monotonnoi dyskretno predstavlenoi kryvoi [The definition of diapasons of geometric characteristics of a monotonous discretely represented curve]. Pratsi Tavriiskogo derzhavnogo agrotekhnologichnogo universytetu [Proceedings of Tavria State Agrotechnological University]. TDATU. Melitopol, 2012, no. 4, iss. 54, pp. 38-42. (in Ukrainian).
Grigoryev M.I., Malozemov V.N. and Sergeyev A.N. Polinomy Bernshteyna i sostavnye krivye Bezye [Bernstein polynomials and composite Bezier curves]. Zhurnal vychislitelnoy matematiki i matematicheskoy fiziki [Journal of Computational Mathematics and Mathematical Physics]. Moskva, 2006, Iss. 43, no. 11, pp. 1962-1971. (in Russian).
Naidysh V.M. Dyskretna interpoliatsiia [Discretely interpolation]. Melitopol: Liuks, 2008, 250 p. . (in Ukrainian).
Kholodnyak Yu.V. and Gavrylenko Ye.A. Formuvannya geometrichnikh kharakteristik pry modelyuvanni monotonnoi dyskretno predstavlenoi kryvoi [Formation of geometrical characteristics at modeling of the monotonic discretely represented curve]. Prikladna geometriya ta inzhenerna grafika [Applied geometry and engineering graphics]. KNUBA. Kyiv, 2013, no. 91, pp. 292-296. (in Ukrainian).
Chudinov A.V. Teoreticheskie osnovy inzhenernoy grafiki [Theoretical foundations of engineering graphics]. Novosibirsk: Izd-vo NGTU, 2010, 396 p. . (in Russian).
Chernousova E., Golubev Y. and Krymova E. Ordered smoothers with exponential weighting. Electronic Journal of Statistics. 2013, vol. 7, pp. 2395–2419. Available at: https://projecteuclid.org/euclid.ejs/1380546591.
Gavrilenko E.A. and Kholodnyak Yu.V. Discretely geometrical modelling of one-dimensional contours with a regular change of differential-geometric characteristics. Dynamics of Systems, Mechanisms and Machines (Dynamics). Omsk, 2014, pp. 1-5. Available at: http://ieeexplore.ieee.org/document/7005654/.
Argyros Ioannis K. and George Santhosh On the convergence of Newton-like methods restricted domains. Numerical Algorithms. 2017, vol. 75, iss. 3, pp. 553-567. Available at: https://link.springer.com/article/10.1007 /s11075-016-0211-y.
Ivan Mircea A note on the Hermite interpolation. Numerical Algorithms. 2015, vol. 69, iss. 3, pp. 517-522. Available at: https://link.springer.com/article/10.1007/s11075-014-9909-x.
Zadorin I. Lagrange interpolation and Newton-Cotes formulas for functions with boundary layer components on piecewise-uniform grids. Numerical Analysis and Applications. 2015, vol. 8, iss. 3, pp. 235–247. Available at: https://link.springer.com/article/10.1134/S1995423915030040
Downloads
Published
Issue
Section
License
Редакція Видання категорично засуджує прояви плагіату в статтях та вживає всіх можливих заходів для його недопущення. Плагіат розглядається як форма порушення авторських прав і наукової етики.
При виявлені у статті більш ніж 25% запозиченого тексту без відповідних посилань та використання лапок, стаття кваліфікується як така, що містить плагіат. У цьому випадку стаття більше не розглядається редакцією, а автор отримує перше попередження.
Автори, в статтях яких повторно виявлено плагіат, не зможуть публікуватися в усіх журналах Видавництва ДВНЗ «Придніпровська державна академія будівництва та архітектури».
Автори, які публікуються у цьому журналі, погоджуються з наступними умовами:
- Автори залишають за собою право на авторство своєї роботи та передають журналу право першої публікації цієї роботи на умовах ліцензії Creative Commons Attribution License, котра дозволяє іншим особам вільно розповсюджувати опубліковану роботу з обов'язковим посиланням на авторів оригінальної роботи та першу публікацію роботи у цьому журналі.
- Автори мають право укладати самостійні додаткові угоди щодо неексклюзивного розповсюдження роботи у тому вигляді, в якому вона була опублікована цим журналом (наприклад, розміщувати роботу в електронному сховищі установи або публікувати у складі монографії), за умови збереження посилання на першу публікацію роботи у цьому журналі.
- Політика журналу дозволяє і заохочує розміщення авторами в мережі Інтернет (наприклад, у сховищах установ або на особистих веб-сайтах) рукопису роботи, як до подання цього рукопису до редакції, так і під час його редакційного опрацювання, оскільки це сприяє виникненню продуктивної наукової дискусії та позитивно позначається на оперативності та динаміці цитування опублікованої роботи (див. The Effect of Open Access).