Numerical galerkin method using algorithm of evolutionary search the preferred solution
Keywords:
Galerkin method, boundary problem, graphic representation of basis functions, evolutionary searchAbstract
Purpose. In solving boundary value problems by Galerkin method should set basic functions. Set of basic functions in analytical form does not always correspond to the total solution. Attractive set basis functions is graphically. But while the challenge is estimating the parameters of the basic functions that may include a description not linear. The aim of this work is to develop a general approach for solving boundary value tasks by Galerkin method, when the basis function is given not analytically but in geometric form.
Methodology. It was proposed а new general approach for solving boundary value problems by Galerkin method. In this method basis functions were given in geometric form but not in analytic form. To search the parameters of the basis functions which were defined in geometric form is used the evolutionary algorithm. Was constructed numerical algorithm Galerkin method with the help of evolutionary algorithm random search of the most attractive solutions and graphical representations of the basis functions. Findings. It was built general scheme of numerical Galerkin method with the use an evolutionary algorithm to find the most attractive solutions. As an example, were given the results of numerous solution to the boundary problem of heat conduction in the body of the two-dimensional temperature field. Were given the results of numerous calculation when setting the basic functions in graphic form a comparison with the exact solution. It was received a satisfactory coincidence of results.
Originality. It was suggested to use not analytical but graphical representation of the basis functions for solving boundary value problems by Galerkin method. The unknown parameters of the expression solution using basis functions may include non-linear. It was suggested to use an evolutionary algorithm to search for the unknown parameters of the expression of the general solution. There is provided an evolutionary algorithm with the adaptation of search terms that match the desired solution with probability 1.
Practical value. It was suggested that in solving boundary value problems by Galerkin method to use a graphical representation of basis functions, allowing objects to investigate when an unknown type of analytical functions. To use Galerkin method in solving problems when the basis functions given not analytically but in geometric form will expand class solutions boundary problems, including the possibility of formulating complex relationships selection to find solutions.
References
Grashchenkov S.I. Ispolzovanie razryvnogo metoda Galerkina dlja rascheta raspredelenija temperatury v sisteme tverdoe telo−gaz pri malykh chislakh Knudsena [Using a discontinuous Galerkin method for calculating the temperature distribution in the solid-gas at small Knudsen]. Zhurnal tekhnycheskoy fiziki – Technical Physics, 2015, vol. 85, no. 8, pp. 1–5.
Irodov V.F. O postroenii i skhodimosti algoritmov samoorganizatsii sluchaynogo poiska [The construction and convergence of random search algorithms for self-organization]. Avtomatyka – Automation, 1987, no. 4, pp. 34–43.
Ledyakin Yu.Ya. Metod Galerkina. Sposob parallelnoy realizatsii zadach matematicheskoy fiziki v edinom vychislitelnom potoke [Galerkin method. Parallel implementation of the method of mathematical physics in a single stream computing]. Matematychni mashyny i systemy –Mathematical machines and systems, 2012, no. 3, pp. 69–80.
Pohrebytska G.M. Zastosuvannia asymptotychnoho rozshyrenoho hibrydnoho VKB-Halorkin pidkhodu v zadachi pro teploprovidnist tonkoho stryzhnia konichnoi formy [The use of advanced hybrid asymptotic WKB - Galerkin approach to the problem of thermal conductivity of thin conical core]. Visnyk Zaporizkoho natsionalnoho universytetu [Bulletin Zaporizhzhya National University], 2014, no. 1, pp. 122–127.
Samarskiy A.A., Popov Yu.P. Raznostnye skhemy gazovoy dinamiki [The difference schemes of gas dynamics]. Moscow, Nauka Publ., 1975. 352 p.
Sinchuk Yu.O. Adaptyvni skhemy metodu skinchennykh elementiv dlia synhuliarno zburenykh variatsiinykh zadach konvektsii-dyfuzii. Avtoreferat Diss. [Adaptive finite element method for singularly perturbed variational problems of convection-diffusion. Author’s abstract.]. Lviv, 2008. 157 p.
Stratan F.I., Irodov V.F Evolyutsionnye algoritmy poiska optimalnykh resheniy [Evolutionary algorithms search for optimal solutions]. Kishinev, Shtiintsa Publ., 1984, pp. 16–30.
Fletcher K. Chislennye metody na osnove metoda Galyorkina [Numerical methods based on the Galerkin method]. Moscow, Mir Publ., 1988. 352 p.
Yudaev B.N. Teploperedacha: Uchebnik dlja vuzov [Heat: Textbook for Universities]. Moscow, Vysshaya shkola Publ., 1981. 352 p.
Chen J., Chi S., Hu H Recent developments in stabilized Galerkin and collocation meshfree methods. Department of Civil & Environmental Engineering University of California, 2011, pp. 3–21. Available at : URL: http://cames.ippt.gov.pl/pdf /CAMES_18_12_2.pdf. (Access : 05 September 2015).
Dai B., Zheng B., Liang Q., Wang L. Numerical solution of transient heat conduction problems using improved meshless local Petrov–Galerkin method. Applied Mathematics and Computation, 2013, pp. 10044–10052. Available at : URL: http://ssu.ac.ir/cms/fileadmin/user_upload/Moavenatha/Mposhtibani/Mdaftar_fani/KhadamatKarkonan/Articles/EN/1-s2.0-S0096300313004244-main.pdf. (Access : 05 September 2015).
Di Pietro D.A., Ern A. Mathematical aspects of discontinuous Galerkin methods. Series: Mathématiques et Applications, 2012, 384 p.. Available at : URL: http://smai.emath.fr/spip/IMG/pdf/vol69.pdf. (Access : 06 September 2015).
Gorgulu M.Z., Dag I., Irk D. Galerkin Method for the numerical solution of the RLW equation by using exponential Bsplines. Department of Mathematics-Computer Science, 2015, pp. 1–16. Available at : URL: http://arxiv.org/pdf/1504. 05901. pdf. (Access : 01 September 2015).
Hesthaven J.S., Warburton T. Nodal discontinuous Galerkin methods: Algorithms, analysis, and applications. 2008, 502 p. Available at : URL : http://www.springer.com/productFlyer_978-0-387-72065-4.pdf?SGWID=0-0-1297-173736528-0. (Access : 01 September 2015).
Kumar B.V.R., Mehra M. A three-step wavelet Galerkin method for parabolic and hyperbolic partial differential equations. 2006, pp. 143–157 Available at: URL: http://web.iitd.ac.in/~mmehra/publication/IJCM06.pdf. (Accessed: 05 August 2015).
Lew A., Marsden J.E., Ortiz M., West M. An overview of variational integrators. 2003, 18 p. Available at: URL: http://authors.library.caltech.edu/20293/1/LeMaOrWe2004a.pdf. (Accessed: 01 August 2015).
Luo H., Luo L., Nourgaliev R., Mousseau V. A. A Reconstructed discontinuous Galerkin method for the compressible euler equations on arbitrary grids. 2009, pp. 1–16. Available at : URL: http://www5vip.inl.gov/technicalpublications/documents/4310593.pdf. (Accessed: 05 August 2015).
Volker J. Numerical methods for partial dffierential equations. 2013, 107 p. Available at : URL: https://www.wiasberlin.de/people/john/LEHRE/NUM_PDE_FUB/num_pde_fub.pdf. (Accessed: 01 August 2015).
Downloads
Issue
Section
License
Редакція Видання категорично засуджує прояви плагіату в статтях та вживає всіх можливих заходів для його недопущення. Плагіат розглядається як форма порушення авторських прав і наукової етики.
При виявлені у статті більш ніж 25% запозиченого тексту без відповідних посилань та використання лапок, стаття кваліфікується як така, що містить плагіат. У цьому випадку стаття більше не розглядається редакцією, а автор отримує перше попередження.
Автори, в статтях яких повторно виявлено плагіат, не зможуть публікуватися в усіх журналах Видавництва ДВНЗ «Придніпровська державна академія будівництва та архітектури».
Автори, які публікуються у цьому журналі, погоджуються з наступними умовами:
- Автори залишають за собою право на авторство своєї роботи та передають журналу право першої публікації цієї роботи на умовах ліцензії Creative Commons Attribution License, котра дозволяє іншим особам вільно розповсюджувати опубліковану роботу з обов'язковим посиланням на авторів оригінальної роботи та першу публікацію роботи у цьому журналі.
- Автори мають право укладати самостійні додаткові угоди щодо неексклюзивного розповсюдження роботи у тому вигляді, в якому вона була опублікована цим журналом (наприклад, розміщувати роботу в електронному сховищі установи або публікувати у складі монографії), за умови збереження посилання на першу публікацію роботи у цьому журналі.
- Політика журналу дозволяє і заохочує розміщення авторами в мережі Інтернет (наприклад, у сховищах установ або на особистих веб-сайтах) рукопису роботи, як до подання цього рукопису до редакції, так і під час його редакційного опрацювання, оскільки це сприяє виникненню продуктивної наукової дискусії та позитивно позначається на оперативності та динаміці цитування опублікованої роботи (див. The Effect of Open Access).
